Całkowanie przez części całek oznaczonych
Podamy teraz niezwykle ważny wzór służący do obliczania całek oznaczonych, który uzasadnimy przy pomocy twierdzenia Newtona-Leibniza.
Twierdzenie 1: o całkowaniu przez części całek oznaczonych
Jeżeli \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) oraz \( g: [a,b] \to \mathbb{R} \) są funkcjami klasy \( C^1 \), to zachodzi równość
\( \int\limits_a^b f(x)g^{\prime}(x) dx = (f(x)g(x))\Big|_a^b - \int\limits_a^b f^{\prime}(x)g(x) dx. \)
DOWÓD
Skoro \( (fg)^{\prime}=fg^{\prime} + f^{\prime}g \), to
\( \int (f(x)g^{\prime}(x) + f^{\prime}(x)g(x)) dx = f(x)g(x) + C. \)
Stosując do funkcji podcałkowej \( fg^{\prime}+f^{\prime}g \) w przedziale \( [a,b] \) twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy
\( \int\limits_a^b (f(x)g^{\prime}(x) + f^{\prime}(x)g(x)) dx = f(b)g(b)- f(a)g(a), \)
co dowodzi, że zachodzi ( 1 ).
CND.
Zastosujmy powyższe twierdzenie do obliczenia przykładowych całek oznaczonych.
Przykład 1:
\( \begin{aligned}\int\limits_1^{e} \ln x dx &= \left| \begin{array}{cc}u(x)=\ln x & v'(x)=1 \\u'(x)=\frac{1}{x} & v(x)=x\end{array} \right|= x \ln x \Big|_1^{e} - \int\limits_1^{e} \frac{1}{x} \cdot x \,dx \\&= x \ln x \Big|_1^{e} - x\Big|_1^{e} = e-0 - (e-1)=1.\end{aligned} \)
Przykład 2:
\( \begin{aligned}\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x dx &= \left| \begin{array}{cc} u(x)=\sin x & v'(x)=e^x \\ u'(x)=\cos x & v(x)=e^x \end{array} \right|= e^x \sin x \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos x dx \\ &= \left| \begin{array}{cc} u(x)=\cos x & v'(x)=e^x \\ u'(x)=-\sin x & v(x)=e^x \end{array} \right|= e^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2} - e^0 \sin 0 \\ & \quad - \left(e^x \cos x \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x dx \right),\end{aligned} \)
a zatem
\( \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x dx = e^{\frac{\pi}{2}} - e^{\frac{\pi}{2}} \cos \frac{\pi}{2} + e^0 \cos 0 - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x dx. \)
Stąd
\( \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x dx = e^{\frac{\pi}{2}} + 1 - \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x dx, \)
a po przeniesieniu całki oznaczonej z prawej na lewą stronę i po podzieleniu obu stron równości przez \( 2 \) otrzymujemy
\( \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x dx = \frac{1}{2}(e^{\frac{\pi}{2}} +1). \)